Le second degré et les suites numériques

Mathématiques · Première — Forme développée, canonique et factorisée, discriminant, signe du trinôme, puis début des suites numériques.

Cours

Chapitre 1 : Le second degré

I. Fonction polynôme

Définition

Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b, c sont des réels appelés coefficients, avec a ≠ 0.

On dit que ax² + bx + c est un polynôme du second degré (ou trinôme). ax² + bx + c est la forme développée du trinôme.

Si on note f(x) = ax² + bx + c, on dit que f est une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ.

Exemples

f(x) = 6x² + 3x + 4 est une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ.
x² − 2 est un trinôme du second degré avec a = 1 ; b = 0 ; c = −2.
−πx² + 74x = 0 est une équation du second degré avec a = −π ; b = 74 ; c = 0.

Propriété : écriture canonique

Soit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. f(x) admet une autre écriture : pour tout x ∈ ℝ,

f(x) = a(x − α)² + β où α = −b2a et β = f(α)

Définition

On appelle cette forme la forme canonique du trinôme.

Exemple

Soit f(x) = 2x² − 7x + 4, avec a = 2, b = −7, c = 4.

Calcul de α :

α = −b2a = −(−7)2 × 2 = 74

Calcul de β :

β = f(74) = 2 × (74)² − 7 × 74 + 4 = 498 − 988 + 328 = −178

Pour tout x ∈ ℝ, on a :

f(x) = 2(x − 74)² − 178

Propriété : représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet

S ( −b2a ; f( −b2a ) )

Son axe de symétrie est la droite d'équation x = −b2a.

II. Équations du second degré

A. Résolution

Pour résoudre une équation du second degré, on vérifie d'abord si l'on peut factoriser « simplement » l'expression ou si l'on peut utiliser une identité remarquable. Par la suite, on utilise l'équation produit nul.

Définition

Le discriminant de l'équation ax² + bx + c = 0 est le nombre

Δ = b² − 4ac

Théorème de résolution

Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
Si Δ = 0, l'équation admet une seule solution (appelée racine double) : x₀ = −b2a.
Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions : x₁ = −b − Δ2a et x₂ = −b + Δ2a

Remarque

On peut parler de « racine » au lieu de « solution ».

Exemple 1 : résolution de x² + 2 = 0

Calcul de Δ (a = 1, b = 0, c = 2) :

Δ = b² − 4ac = 0² − 4 × 1 × 2 = −8 < 0

Donc l'équation n'a pas de solution dans ℝ : 𝒮 = ∅.

Exemple 2 : résolution de x² − 4x + 4 = 0 Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0

Donc l'équation admet une seule solution :

x₀ = −b2a = 42 × 1 = 2

D'où 𝒮 = {2}.

Exemple 3 : résolution de 2x² + x − 1 = 0 Δ = 1² − 4 × 2 × (−1) = 1 − (−8) = 9 > 0

Donc l'équation admet deux solutions :

x₁ = −1 − 92 × 2 = −1 − 34 = −44 = −1 x₂ = −1 + 92 × 2 = −1 + 34 = 24 = 12

D'où 𝒮 = { −1 ; 12 }.

B. Forme factorisée

Propriété : factorisation

Si Δ < 0, le polynôme ne peut pas se factoriser dans ℝ.
Si Δ = 0, alors f(x) = a(x − x₀)².
Si Δ > 0, alors f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Exemple (avec les exemples précédents)

Pour x² + 2, on a trouvé Δ < 0 : il n'y a pas de factorisation dans ℝ.
Pour x² − 4x + 4, on a trouvé Δ = 0 : x² − 4x + 4 = 1(x − 2)² = (x − 2)².
Pour 2x² + x − 1, on a trouvé Δ = 9 > 0 : 2x² + x − 1 = 2(x − (−1))(x − 12) = 2(x + 1)(x − 12).

C. Lien entre les coefficients et les racines du trinôme

Propriété : lien coefficients et racines

Soit ax² + bx + c un polynôme du second degré tel que Δ > 0. Notons x₁ et x₂ ses deux racines. On a :

x₁ + x₂ = −ba et x₁ × x₂ = ca

Exemple

Soit f(x) = 2x² − 6x + 1 une fonction polynôme du second degré.

On calcule Δ :

Δ = (−6)² − 4 × 2 × 1 = 36 − 8 = 28 > 0

Donc le trinôme admet 2 racines. On a donc :

x₁ + x₂ = −ba = 62 = 3 x₁ × x₂ = ca = 12

Exemple : trouver une racine quand on en connaît déjà une

Soit R(x) = 5x² − 4x − 1.

• On calcule Δ : Δ = (−4)² − 4 × 5 × (−1) = 16 + 20 = 36 > 0. Il y a donc deux racines pour le polynôme.

• On cherche une racine évidente (en général un nombre entier entre −4 et 4 dont l'image par R vaut 0) :

R(1) = 5 − 4 − 1 = 0

Donc 1 est une racine évidente. Posons x₁ = 1.

• On déduit x₂ :

x₁ × x₂ = ca ⟺ 1 × x₂ = −15 ⟺ x₂ = −15

III. Inéquations du second degré

Propriété : sens de la parabole

Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (∪).
Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (∩).

Remarque

Graphiquement, on peut voir les racines du trinôme du second degré à l'intersection entre la parabole et l'axe des abscisses :

si Δ > 0, il y a 2 points d'intersection, d'abscisses x₁ et x₂ ;
si Δ = 0, il y a 1 point d'intersection, d'abscisse x₀ ;
si Δ < 0, il n'y a pas d'intersection.

Si Δ > 0

Si Δ = 0

Si Δ < 0

Théorème : signe d'un trinôme du second degré

Si Δ ≤ 0, alors le trinôme est du signe de a (il s'annule en x₀ lorsque Δ = 0).
Si Δ > 0, alors le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines (et du signe contraire de a entre les racines).

Exemple : résolution d'une inéquation

Résoudre sur ℝ : x² + 7 < 5.

1) On écrit l'inéquation avec un des membres égal à 0 :

x² + 7 < 5 ⟺ x² + 7 − 5 < 0 ⟺ x² + 2 < 0

2) On résout l'équation x² + 2 = 0 :

Δ = b² − 4ac = 0² − 4 × 1 × 2 = −8 < 0

L'équation n'a pas de solution.

3) On étudie le signe de x² + 2 : Δ < 0 donc x² + 2 est du signe de a = 1 > 0, donc strictement positif pour tout réel x.

4) On conclut : x² + 2 < 0 n'admet pas de solution, 𝒮 = ∅.

Chapitre 2 : Suites numériques

I. Généralités

Définition : suite

Une suite u est une fonction qui associe à tout entier naturel n un réel noté u(n) ou u_n. Cette suite est notée u ou (u_n)_n∈ℕ.

Exemples

La suite des nombres entiers : u(0) = 0, u(1) = 1, u(2) = 2, …
La suite des nombres pairs : u(0) = 0, u(1) = 2, u(2) = 4, …

Remarques

Le terme de rang n, noté u(n), est donc l'image de l'entier naturel n par la fonction u.
u_n se lit « u indice n » ou « u n ».
Parfois la suite est définie à partir d'un rang plus grand que 0, par exemple 3, et on note (u_n)_n≥3.

Définition explicite

Lorsqu'un terme s'écrit en fonction de l'indice n, on dit que la suite u est définie de façon explicite en fonction de n. On peut calculer directement chaque terme à partir de son rang n.

Exemples

On définit u par : pour tout n ∈ ℕ, u(n) = 2ⁿ + 1.
On considère la suite v : pour tout n ∈ ℕ*, v(n) = 1n.

Définition par récurrence

On dit que la suite est définie par une relation de récurrence si elle est définie par la donnée :

de son premier terme ;
d'une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du (ou des) précédent(s).

Pour calculer un terme, il faut avoir calculé tous les précédents.

Exemple

Soit w la suite définie par w(2) = −3 et, pour tout n ∈ ℕ* \ {1} :

w_n+1 = 2w_n + 4

→ Pour calculer un terme, on multiplie le précédent par 2 et on ajoute 4 au résultat.

Calculer w₅ :

w(3) = w₃ = 2 × w₂ + 4 = 2 × (−3) + 4 = −2 w(4) = 2 × w₃ + 4 = 2 × (−2) + 4 = 0 w(5) = 2 × w₄ + 4 = 2 × 0 + 4 = 4

Fiches

Fiche 1

Trinôme et forme canonique

Trinôme : f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0 (forme développée).
Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β.
α = −b2a et β = f(α).
Courbe : parabole de sommet S(α ; β), axe de symétrie x = α.
a > 0 : ∪ (minimum en S) ; a < 0 : ∩ (maximum en S).

Piège : bien garder le signe de b dans −b : si b = −7, alors −b = 7.

Fiche 2

Résoudre ax² + bx + c = 0

D'abord : factorisation simple ou identité remarquable ? Sinon, on calcule Δ = b² − 4ac.

Δ	Solutions	Factorisation
Δ < 0	𝒮 = ∅	Impossible dans ℝ
Δ = 0	x₀ = −b2a	a(x − x₀)²
Δ > 0	x₁,₂ = −b ∓ Δ2a	a(x − x₁)(x − x₂)

Piège : (−4)² = 16 et non −16 ; ne pas oublier le a devant la forme factorisée.

Fiche 3

Somme et produit des racines

Si Δ > 0 : x₁ + x₂ = −ba et x₁ × x₂ = ca.
Méthode de la racine évidente : tester les entiers entre −4 et 4 jusqu'à trouver R(x₁) = 0.
Puis en déduire l'autre : x₂ = ca × x₁.

Ex. : 5x² − 4x − 1 ; R(1) = 0 donc x₁ = 1 et x₂ = −15.

Fiche 4

Signe du trinôme et inéquations

Δ ≤ 0 : trinôme du signe de a partout (nul en x₀ si Δ = 0).
Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles.
Racines = abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Méthode en 4 étapes :

1. Tout passer d'un côté : … < 0.
2. Résoudre l'équation associée (calcul de Δ).
3. Étudier le signe du trinôme.
4. Conclure par l'ensemble 𝒮.

Ex. : x² + 7 < 5 ⟺ x² + 2 < 0 ; Δ = −8, a = 1 > 0 donc toujours positif : 𝒮 = ∅.

Fiche 5

Généralités sur les suites

Suite = fonction de ℕ dans ℝ : n ↦ u_n, notée u ou (u_n)_n∈ℕ.
u_n = terme de rang n (« u indice n »).
Peut commencer à un autre rang : (u_n)_n≥3.

Fiche 6

Explicite ou par récurrence

	Explicite	Récurrence
Forme	u_n = f(n)	1er terme + u_n+1 = f(u_n)
Calcul	Direct à partir de n	Il faut tous les termes précédents
Exemple	u_n = 2ⁿ + 1	w₂ = −3, w_n+1 = 2w_n + 4

Ex. : w₃ = −2, w₄ = 0, w₅ = 4.

Piège : u_n+1 (terme suivant) ≠ u_n + 1 (terme plus 1).

Cartes

Définition Forme développée d'un trinôme du second degré ?
Réponse
ax² + bx + c
avec a ≠ 0
Propriété Forme canonique du trinôme ?
Réponse
a(x − α)² + β
Formule Comment calcule-t-on α et β ?
Réponse
α = −b2a
β = f(α)
Propriété Sommet et axe de symétrie de la parabole ?
Réponse
Sommet S(−b2a ; f(−b2a))
Axe : x = −b2a
Propriété Sens de la parabole selon le signe de a ?
Réponse
a > 0 : tournée vers le haut ∪
a < 0 : tournée vers le bas ∩
Méthode Que vérifie-t-on avant de calculer Δ ?
Réponse
Si on peut factoriser simplement ou utiliser une identité remarquable, puis on applique le produit nul.
Définition Formule du discriminant ?
Réponse
Δ = b² − 4ac
Théorème Si Δ < 0, combien de solutions ?
Réponse
Aucune solution réelle : 𝒮 = ∅
Pas de factorisation dans ℝ.
Théorème Si Δ = 0, quelle solution ?
Réponse
Une racine double :
x₀ = −b2a
Théorème Si Δ > 0, quelles solutions ?
Réponse
x₁ = −b − Δ2a

x₂ = −b + Δ2a
Propriété Forme factorisée si Δ = 0 ?
Réponse
f(x) = a(x − x₀)²
Propriété Forme factorisée si Δ > 0 ?
Réponse
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Propriété Somme des racines x₁ + x₂ ?
Réponse
−ba
Propriété Produit des racines x₁ × x₂ ?
Réponse
ca
Méthode Qu'est-ce qu'une racine évidente ?
Réponse
Un nombre simple (souvent un entier entre −4 et 4) dont l'image vaut 0. On trouve ensuite l'autre avec x₁x₂ = ca
Remarque Où lit-on les racines sur le graphique ?
Réponse
Aux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses : 2 points si Δ > 0, 1 si Δ = 0, aucun si Δ < 0.
Théorème Signe du trinôme si Δ ≤ 0 ?
Réponse
Toujours du signe de a (nul en x₀ si Δ = 0).
Théorème Signe du trinôme si Δ > 0 ?
Réponse
Signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
Méthode Les 4 étapes pour résoudre une inéquation ?
Réponse
1. Se ramener à « … < 0 »
2. Résoudre l'équation associée
3. Étudier le signe
4. Conclure avec 𝒮

Quiz

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Exercices

Exercice 1

Exercice A

Cible : calcul algébrique, équations avec fractions, valeurs interdites.

Développer et réduire A = (x + 3)² − (2x − 1)² de deux façons : en développant chaque carré, puis avec a² − b² = (a − b)(a + b).
Trouver tous les triplets pythagoriciens formés de trois nombres pairs consécutifs.
Résoudre 4x + 1x − 3 = 2.
Résoudre 2x² − x − 1x − 1 = 0.

Exercice 2

Exercice B

Cible : choisir la forme adaptée, ordre des racines quand a < 0, vérification.

Soit f(x) = −2x² + 4x + 6. On admet aussi f(x) = −2(x − 1)² + 8 et f(x) = −2(x + 1)(x − 3).

Vérifier que les trois expressions sont égales.
Sans calculer Δ, en choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée :
1. calculer f(0) ;
2. résoudre f(x) = 0 ;
3. donner le maximum de f et la valeur où il est atteint ;
4. résoudre f(x) = 6 ;
5. résoudre f(x) = 10 ;
6. résoudre f(x) ≥ 0.
Résoudre f(x) = 0 avec Δ, en calculant précisément x₁ = −b − Δ2a. Est-ce la plus petite des deux racines ?

Exercice 3

Exercice C

Cible : signe moins devant une parenthèse, coefficients a, b, c, mise au même dénominateur.

Développer et réduire :
1. B = 5 − (x − 2)²
2. C = (2x + 1)² − 3(x − 1)(x + 2)
Réduire G = (x − 3)² − (2x + 1)(x − 1), puis donner les valeurs de a, b, c et calculer Δ.
Écrire sous la forme d'une seule fraction, en précisant les valeurs interdites :
1. E = 2x − 3x + 1
2. F = x + 1x − 2 − 2
Trouver l'erreur dans chaque égalité et la corriger :
1. −(x + 2)² = −x² + 4x + 4
2. 1x + 2x + 3 = 32x + 3

Exercice 4

Exercice D

Cible : équations avec fractions résolues jusqu'au bout, ensemble de définition, vérification.

Pour chaque équation : donner les valeurs interdites, résoudre, puis vérifier une solution en la remplaçant.

x² − 5x + 6x² − 4 = 0
xx − 2 − 1x = 2x(x − 2)
1x + 1x − 2 = 43
Un nombre non nul et son inverse ont pour somme 103. Quel peut être ce nombre ?

Exercice 5

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² − 6x + 5.

Déterminer la forme canonique de f(x).
En déduire les coordonnées du sommet de la parabole et préciser son sens.
Résoudre l'équation f(x) = 0.
Donner la forme factorisée de f(x).
Résoudre l'inéquation f(x) ≤ 0.

Exercice 6

Exercice 2

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = −2x² + 3x + 5.

Vérifier que −1 est une racine évidente de g, puis en déduire l'autre racine sans calculer Δ.
Donner la forme factorisée de g(x).
Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole. S'agit-il d'un minimum ou d'un maximum ?
Résoudre l'inéquation g(x) > 0.
Résoudre l'équation g(x) = 5.