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Mathématiques · Première
Forme développée, canonique et factorisée, discriminant, signe du trinôme, puis début des suites numériques.
Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b, c sont des réels appelés coefficients, avec a ≠ 0.
On dit que ax² + bx + c est un polynôme du second degré (ou trinôme). ax² + bx + c est la forme développée du trinôme.
Si on note f(x) = ax² + bx + c, on dit que f est une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ.
Soit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. f(x) admet une autre écriture : pour tout x ∈ ℝ,
f(x) = a(x − α)² + β où α = −b2a et β = f(α)On appelle cette forme la forme canonique du trinôme.
Soit f(x) = 2x² − 7x + 4, avec a = 2, b = −7, c = 4.
Calcul de α :
α = −b2a = −(−7)2 × 2 = 74Calcul de β :
β = f(74) = 2 × (74)² − 7 × 74 + 4 = 498 − 988 + 328 = −178Pour tout x ∈ ℝ, on a :
f(x) = 2(x − 74)² − 178La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet
S ( −b2a ; f( −b2a ) )Son axe de symétrie est la droite d'équation x = −b2a.
Pour résoudre une équation du second degré, on vérifie d'abord si l'on peut factoriser « simplement » l'expression ou si l'on peut utiliser une identité remarquable. Par la suite, on utilise l'équation produit nul.
Le discriminant de l'équation ax² + bx + c = 0 est le nombre
Δ = b² − 4acOn peut parler de « racine » au lieu de « solution ».
Calcul de Δ (a = 1, b = 0, c = 2) :
Δ = b² − 4ac = 0² − 4 × 1 × 2 = −8 < 0Donc l'équation n'a pas de solution dans ℝ : 𝒮 = ∅.
Donc l'équation admet une seule solution :
x₀ = −b2a = 42 × 1 = 2D'où 𝒮 = {2}.
Donc l'équation admet deux solutions :
x₁ = −1 − 92 × 2 = −1 − 34 = −44 = −1 x₂ = −1 + 92 × 2 = −1 + 34 = 24 = 12D'où 𝒮 = { −1 ; 12 }.
Soit ax² + bx + c un polynôme du second degré tel que Δ > 0. Notons x₁ et x₂ ses deux racines. On a :
x₁ + x₂ = −ba et x₁ × x₂ = caSoit f(x) = 2x² − 6x + 1 une fonction polynôme du second degré.
On calcule Δ :
Δ = (−6)² − 4 × 2 × 1 = 36 − 8 = 28 > 0Donc le trinôme admet 2 racines. On a donc :
x₁ + x₂ = −ba = 62 = 3 x₁ × x₂ = ca = 12Soit R(x) = 5x² − 4x − 1.
• On calcule Δ : Δ = (−4)² − 4 × 5 × (−1) = 16 + 20 = 36 > 0. Il y a donc deux racines pour le polynôme.
• On cherche une racine évidente (en général un nombre entier entre −4 et 4 dont l'image par R vaut 0) :
R(1) = 5 − 4 − 1 = 0Donc 1 est une racine évidente. Posons x₁ = 1.
• On déduit x₂ :
x₁ × x₂ = ca ⟺ 1 × x₂ = −15 ⟺ x₂ = −15Graphiquement, on peut voir les racines du trinôme du second degré à l'intersection entre la parabole et l'axe des abscisses :
Résoudre sur ℝ : x² + 7 < 5.
1) On écrit l'inéquation avec un des membres égal à 0 :
x² + 7 < 5 ⟺ x² + 7 − 5 < 0 ⟺ x² + 2 < 02) On résout l'équation x² + 2 = 0 :
Δ = b² − 4ac = 0² − 4 × 1 × 2 = −8 < 0L'équation n'a pas de solution.
3) On étudie le signe de x² + 2 : Δ < 0 donc x² + 2 est du signe de a = 1 > 0, donc strictement positif pour tout réel x.
4) On conclut : x² + 2 < 0 n'admet pas de solution, 𝒮 = ∅.
Une suite u est une fonction qui associe à tout entier naturel n un réel noté u(n) ou un. Cette suite est notée u ou (un)n∈ℕ.
Lorsqu'un terme s'écrit en fonction de l'indice n, on dit que la suite u est définie de façon explicite en fonction de n. On peut calculer directement chaque terme à partir de son rang n.
On dit que la suite est définie par une relation de récurrence si elle est définie par la donnée :
Pour calculer un terme, il faut avoir calculé tous les précédents.
Soit w la suite définie par w(2) = −3 et, pour tout n ∈ ℕ* \ {1} :
wn+1 = 2wn + 4→ Pour calculer un terme, on multiplie le précédent par 2 et on ajoute 4 au résultat.
Calculer w₅ :
w(3) = w₃ = 2 × w₂ + 4 = 2 × (−3) + 4 = −2 w(4) = 2 × w₃ + 4 = 2 × (−2) + 4 = 0 w(5) = 2 × w₄ + 4 = 2 × 0 + 4 = 4Piège : bien garder le signe de b dans −b : si b = −7, alors −b = 7.
D'abord : factorisation simple ou identité remarquable ? Sinon, on calcule Δ = b² − 4ac.
| Δ | Solutions | Factorisation |
|---|---|---|
| Δ < 0 | 𝒮 = ∅ | Impossible dans ℝ |
| Δ = 0 | x₀ = −b2a | a(x − x₀)² |
| Δ > 0 | x₁,₂ = −b ∓ Δ2a | a(x − x₁)(x − x₂) |
Piège : (−4)² = 16 et non −16 ; ne pas oublier le a devant la forme factorisée.
Ex. : 5x² − 4x − 1 ; R(1) = 0 donc x₁ = 1 et x₂ = −15.
Méthode en 4 étapes :
Ex. : x² + 7 < 5 ⟺ x² + 2 < 0 ; Δ = −8, a = 1 > 0 donc toujours positif : 𝒮 = ∅.
| Explicite | Récurrence | |
|---|---|---|
| Forme | un = f(n) | 1er terme + un+1 = f(un) |
| Calcul | Direct à partir de n | Il faut tous les termes précédents |
| Exemple | un = 2n + 1 | w₂ = −3, wn+1 = 2wn + 4 |
Ex. : w₃ = −2, w₄ = 0, w₅ = 4.
Piège : un+1 (terme suivant) ≠ un + 1 (terme plus 1).
Découper chaque carte, la plier sur le pointillé et écrire la réponse au dos.
Une seule bonne réponse par question.
Quel est le discriminant de 2x² + x − 1 ?
Pour f(x) = 2x² − 7x + 4, que vaut α ?
Solutions de x² − 4x + 4 = 0 ?
Solutions de x² + 2 = 0 dans ℝ ?
Si a < 0, la parabole est…
Produit des racines de 2x² − 6x + 1 ?
Somme des racines de 2x² − 6x + 1 ?
Forme factorisée de 2x² + x − 1 ?
Racine évidente de 5x² − 4x − 1 ?
Signe de x² − 5x + 6 pour x entre 2 et 3 ?
Solutions de x² − 1 > 0 ?
Sommet de la parabole de f(x) = (x − 3)² − 4 ?
Racine double de x² + 6x + 9 ?
Si Δ < 0, combien de points d'intersection entre la parabole et l'axe des abscisses ?
Que vaut β pour f(x) = 2x² − 7x + 4 ?
Pour résoudre 3x² − 12x = 0, la méthode la plus rapide est…
Cible : calcul algébrique, équations avec fractions, valeurs interdites.
Cible : choisir la forme adaptée, ordre des racines quand a < 0, vérification.
Soit f(x) = −2x² + 4x + 6. On admet aussi f(x) = −2(x − 1)² + 8 et f(x) = −2(x + 1)(x − 3).
Cible : signe moins devant une parenthèse, coefficients a, b, c, mise au même dénominateur.
Cible : équations avec fractions résolues jusqu'au bout, ensemble de définition, vérification.
Pour chaque équation : donner les valeurs interdites, résoudre, puis vérifier une solution en la remplaçant.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² − 6x + 5.
Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = −2x² + 3x + 5.